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Cubos geométricos. Qué es una diagonal de cubo y cómo encontrarla.

O un hexaedro es una figura tridimensional, cada cara es un cuadrado en el que, como sabemos, todos los lados son iguales. La diagonal del cubo es un segmento que pasa por el centro de la figura y conecta los vértices simétricos. En un hexaedro regular hay 4 diagonales, y todas serán iguales. Es muy importante no confundir la diagonal de la figura con la diagonal de su cara o cuadrado, que se encuentra en su base. La cara diagonal del cubo pasa a través del centro de la cara y conecta los vértices opuestos del cuadrado.

Fórmula para encontrar la diagonal del cubo.

La diagonal de un poliedro regular se puede encontrar usando una fórmula muy simple que debe ser recordada. D = a√3, donde D es la diagonal del cubo y es el borde. Damos un ejemplo de un problema donde es necesario encontrar una diagonal, si se sabe que la longitud de su borde es de 2 cm. Aquí todo es solo D = 2√3, incluso nada debe ser considerado. En el segundo ejemplo, deje que el borde del cubo sea √3 cm, luego obtenemos D = √3√3 = √9 = 3. Respuesta: D es 3 cm.

La fórmula mediante la cual puedes encontrar la diagonal de la cara del cubo.

Diago Diago   También puedes encontrar una cara por la fórmula También puedes encontrar una cara por la fórmula. Las diagonales que se encuentran en los bordes son solo 12 piezas, y todas son iguales. Ahora recordamos d = a√2, donde d es la diagonal del cuadrado, y también es el borde del cubo o el lado del cuadrado. Entender de dónde viene esta fórmula es muy simple. Después de todo, los dos lados del cuadrado y la forma diagonal En este trío, la diagonal desempeña el papel de la hipotenusa, y los lados del cuadrado son las patas, que tienen la misma longitud. Recuerde el teorema de Pitágoras, y todo caerá inmediatamente en su lugar. Ahora la tarea: el borde del hexaedro es √8 cm, es necesario encontrar la diagonal de su cara. Nos insertamos en la fórmula y obtenemos d = √8 √2 = √16 = 4. Respuesta: la diagonal de la cara del cubo es de 4 cm.

Si se conoce la diagonal de la cara del cubo.

Por la condición del problema, solo se nos da la diagonal de la cara de un poliedro regular, que es, por ejemplo, √2 cm, y necesitamos encontrar la diagonal del cubo. La fórmula para resolver este problema es un poco más complicada que la anterior. Si sabemos d, entonces podemos encontrar el borde del cubo, basado en nuestra segunda fórmula d = a√2. Obtenemos a = d / √2 = √2 / √2 = 1cm (esta es nuestra ventaja). Y si se conoce esta cantidad, entonces es fácil encontrar la diagonal del cubo: D = 1√3 = √3. Así resolvimos nuestro problema.

Si la superficie es conocida.


El siguiente algoritmo de solución se basa en encontrar la diagonal suponiendo que es igual a 72 cm 2. Para empezar, encontraremos el área de una cara y hay seis en total. Por lo tanto, 72 debe dividirse por 6, obtenemos 12 cm 2. Esta es el área de una faceta. Para encontrar el borde de un poliedro regular, es necesario recordar la fórmula S = a 2, que significa a = √S. Sustituye y obtenemos a = √12 (borde del cubo). Y si conocemos este valor, entonces no es difícil encontrar la diagonal D = a√3 = √12 √3 = √36 = 6. La respuesta: la diagonal del cubo es de 6 cm 2.

Si se conoce la longitud de los bordes del cubo.

Hay casos en los que al problema solo se le da la longitud de todos los bordes del cubo. Entonces es necesario dividir este valor por 12. Es el número de lados en el poliedro correcto. Por ejemplo, si la suma de todos los bordes es 40, entonces un lado será igual a 40/12 = 3.333. ¡Insertamos en nuestra primera fórmula y obtenemos la respuesta!

En el que necesitas encontrar el borde del cubo. Esta es la definición de la longitud del borde de un cubo por el área de la cara del cubo, por el volumen del cubo, por la diagonal de la cara del cubo y por la diagonal del cubo. Considere las cuatro opciones para tales tareas. (Las tareas restantes, como regla, son variaciones de lo anterior o tareas en trigonometría, que están muy indirectamente relacionadas con el tema en cuestión)

Si conoce el área de la cara del cubo, entonces encontrar el borde del cubo es muy simple. Como la cara del cubo es un cuadrado con un lado igual al borde del cubo, su área es igual al cuadrado del borde del cubo. Por lo tanto, la longitud del borde del cubo es igual a la raíz cuadrada del área de su cara, es decir:

y - la longitud del borde del cubo,

S es el área de la cara del cubo.

Encontrar la cara de un cubo en su volumen es aún más fácil. Dado que el volumen del cubo es igual al cubo (del tercer grado) de la longitud del borde del cubo, obtenemos que la longitud del borde del cubo es igual a la raíz de la cúbica (tercer grado) de su volumen, es decir:

y - la longitud del borde del cubo,

V es el volumen del cubo.

Encontrar la longitud de un borde de cubo a lo largo de diagonales conocidas es un poco más difícil. Denotar por

y - la longitud del borde del cubo;

b - la longitud de la diagonal de la cara del cubo;

c - la longitud de la diagonal del cubo.

Como puede verse en la figura, la diagonal de la cara y los bordes del cubo forman un triángulo equilátero rectangular. Por lo tanto, por el teorema de Pitágoras:

Desde aquí encontramos:

(para encontrar el borde del cubo que necesitas extraer raíz cuadrada desde la mitad del cuadrado de la cara diagonal).

Para encontrar el borde del cubo a lo largo de su diagonal, usamos el patrón nuevamente. La diagonal del cubo (c), la diagonal de la cara (b) y el borde del cubo (a) forman un triángulo rectángulo. Entonces, de acuerdo con el teorema de Pitágoras:

Usamos la relación anterior entre a y b y sustituimos en la fórmula

b ^ 2 = a ^ 2 + a ^ 2. Nosotros obtenemos

a ^ 2 + a ^ 2 + a ^ 2 = c ^ 2, donde encontramos:

3 * a ^ 2 = c ^ 2, por lo tanto:

Un cubo es un paralelepípedo rectangular, todos los bordes son iguales. Por lo tanto, se simplifican la fórmula general para el volumen de un paralelepípedo rectangular y la fórmula para su área de superficie en el caso de un cubo . Además, se puede encontrar el volumen del cubo y su área de superficie, conociendo el volumen de la bola inscrita en él o la bola que se describe a su alrededor.

Necesitaras

  • la longitud del lado del cubo, el radio de la bola inscrita y descrita

Instrucción

El volumen de un paralelepípedo rectangular es: V = abc - donde a, b, c son sus dimensiones. Por lo tanto, el volumen del cubo es igual a V = a * a * a = a ^ 3, donde a es la longitud del lado del cubo . El área de la superficie del cubo es igual a la suma de las áreas de todas sus caras. El cubo tiene seis caras, por lo que su área de superficie es S = 6 * (a ^ 2).

Deja que la bola encaje en el cubo. Obviamente, el diámetro de esta bola será igual al lado del cubo . Sustituyendo la longitud del diámetro en la expresión por el volumen en lugar de la longitud del borde del cubo y utilizando que el diámetro es igual al doble del radio, obtenemos entonces V = d * d * d = 2r * 2r * 2r = 8 * (r ^ 3), donde d es el diámetro del círculo inscrito y r es el radio del círculo inscrito. El área de superficie del cubo será S = 6 * (d ^ 2) = 24 * (r ^ 2).

Deja que la pelota se describa alrededor de un cubo . Entonces su diámetro coincidirá con la diagonal del cubo . La diagonal del cubo pasa a través del centro del cubo y conecta sus dos puntos opuestos.
Consideremos primero una de las caras del cubo . Los bordes de esta faceta son las patas de un triángulo rectángulo, en el que la diagonal de la cara d será una hipotenusa. Luego, por el teorema de Pitágoras, obtenemos: d = sqrt ((a ^ 2) + (a ^ 2)) = sqrt (2) * a.

Luego considere el triángulo en el que la hipotenusa es la diagonal del cubo , y la diagonal de la cara d y uno de los bordes del cubo a es sus patas. De manera similar, según el teorema de Pitágoras, obtenemos: D = sqrt ((d ^ 2) + (a ^ 2)) = sqrt (2 * (a ^ 2) + (a ^ 2)) = a * sqrt (3).
Entonces, de acuerdo con la fórmula derivada, la diagonal del cubo es D = a * sqrt (3). Por lo tanto, a = D / sqrt (3) = 2R / sqrt (3). Por lo tanto, V = 8 * (R ^ 3) / (3 * sqrt (3)), donde R es el radio de la bola descrita. El área de superficie del cubo es S = 6 * ((D / sqrt (3)) ^ 2) = 6 * (D ^ 2) / 3 = 2 * (D ^ 2) = 8 * (R ^ 2).

A menudo, hay tareas en las que necesita encontrar el borde de un cubo; a menudo, esto se debe realizar sobre la base de información sobre su volumen, área de faceta o su diagonal. Hay varias opciones para definir un borde de cubo.

En ese caso, si se conoce el área del cubo, entonces se puede determinar fácilmente el borde. La cara del cubo es un cuadrado con un lado igual al borde del cubo. En consecuencia, su área es igual al borde cuadrado del cubo. Debe usar la fórmula: a = √S, donde a es la longitud del borde del cubo, y S es el área de la cara del cubo. Encontrar un borde de cubo por su volumen es una tarea aún más simple. Es necesario tener en cuenta que el volumen del cubo es igual a cubo (en el tercer grado) la longitud del borde del cubo. Resulta que la longitud del borde es igual a la raíz cúbica de su volumen. Es decir, obtenemos la siguiente fórmula: a = √V, donde a es la longitud del borde del cubo, y V es el volumen del cubo.


En diagonal, también puede encontrar el borde del cubo. En consecuencia, necesitamos: a - la longitud del borde del cubo, b - la longitud de la diagonal de la cara del cubo, c - la longitud de la diagonal del cubo. Por el teorema de Pitágoras, obtenemos: a ^ 2 + a ^ 2 = b ^ 2, y desde aquí puede derivar fácilmente la siguiente fórmula: a = √ (b ^ 2/2), que extrae el borde del cubo.


Una vez más, utilizando el teorema de Pitágoras (a ^ 2 + a ^ 2 = b ^ 2), podemos obtener la siguiente relación: a ^ 2 + a ^ 2 + a ^ 2 = c ^ 2, de la cual derivamos: 3 * a ^ 2 = c ^ 2, por lo tanto, el borde del cubo se puede obtener de la siguiente manera: a = √ (c ^ 2/3).


Una vez más, utilizando el teorema de Pitágoras (a ^ 2 + a ^ 2 = b ^ 2), podemos obtener la siguiente relación: a ^ 2 + a ^ 2 + a ^ 2 = c ^ 2, de la cual derivamos: 3 * a ^ 2 = c ^ 2, por lo tanto, el borde del cubo se puede obtener de la siguiente manera: a = √ (c ^ 2/3)

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